Como Resolver Un Sistema De Ecuaciones - [Nueva información] Escuela secundaria

Contents

- 0.0.1 ¿Cómo resolver la sistema de ecuaciones?
0.1 ¿Cómo se resuelven las ecuaciones lineales ejemplos?

1 ¿Cómo saber si un sistema es incompatible?
- - 1.0.1 ¿Cómo saber si un sistema no tiene solución?
- 1.1 ¿Qué es una ecuación cuadrática ejemplos?
2 ¿Cómo se resuelve una ecuación cuadrática completa?
- - 2.0.1 ¿Qué es una ecuación y de un ejemplo?
3 ¿Cómo saber si una ecuación es lineal o no?
- 3.1 ¿Cómo es el metodo de igualacion?
4 ¿Cómo se resuelven las ecuaciones lineales ejemplos?
- 4.1 ¿Cómo se resuelve un sistema de ecuaciones con dos incógnitas?

¿Cómo resolver la sistema de ecuaciones?

Método de reducción – 1 Se preparan las dos ecuaciones, multiplicándolas por los números que convenga.2 La restamos o sumamos de forma que desaparece una de las incógnitas.3 Se resuelve la ecuación resultante.4 El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se resuelve.5 Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.

¿Cómo se resuelven las ecuaciones lineales ejemplos?

¿Qué significa resolver una ecuación lineal?

¿Qué significa resolver una ecuación lineal?
Aprendizaje esperado: r esuelve problemas mediante la formulación y solución algebraica de ecuaciones lineales.
Énfasis: r epresentar y resolver situaciones con ecuaciones lineales,
¿Qué vamos a aprender?

En esta lección, se representarán situaciones problemáticas, a través de la modelación matemática, denominada ecuación lineal, de la forma ax + b = 0 y ax + b = cx + d; las cuales, se resolverán con la propiedad uniforme, pero se hará énfasis en la aplicación de las operaciones inversas,

Asimismo, se dará significado a la solución de la ecuación formada y se analizará cómo dicha solución da respuesta a la situación que se modeló. ¿Qué hacemos? Las ecuaciones son necesarias para resolver diversos planteamientos en los que se busca el valor de una incógnita que hace verdadera la igualdad, permiten relacionar diferentes variables y con ello explicar matemáticamente los fenómenos que se estudian.

Es decir, siempre que está involucrada una incógnita y el signo de igual, se está en presencia de una ecuación, la cual, como ya sabes, consta de dos miembros separados por un signo de igual (=).

A propósito del signo de igualdad, sabías que su inventor fue el Matemático, Robert Recorde ; que, en el año de 1557, se dio cuenta que era necesario representar con un símbolo a la igualdad y para no escribir la frase “es igual” durante un proceso operativo, decidió utilizar dos pequeñas líneas, del mismo tamaño y paralelas de manera horizontal.
Regresando al tema, se puede decir, que toda situación problemática de la vida cotidiana o científica, para su estudio, puede dar pie a una modelación matemática.
Ahora, se iniciará con la ecuación de primer grado, o lineal, usando el siguiente ejemplo:

Equis empresa otorga, una vez al año, una compensación económica extra a sus empleados; Enrique y María trabajan ahí. y recibieron una gratificación en su trabajo al final del año. A Enrique le entregaron 6 vales y $1,000.00 y María recibió 4 vales y $5,000.00. Si los vales son de la misma denominación y los dos recibieron igual pago ¿a cuánto asciende la cantidad de cada vale?

Para resolver este problema matemático, se comenzará identificando las constantes y las incógnitas, esto es, los valores conocidos y desconocidos, respectivamente.
En este caso, puedes observar que hay dos cantidades de las cuales se conoce su valor, 1,000 pesos que le dieron a Enrique y 5,000 pesos que le dieron a María, por lo tanto, estas cantidades monetarias representan a las constantes.
Ambos recibieron dinero en vales, pero no se sabe, cuál es el valor de cada vale; por lo tanto, esta cantidad es la incógnita, la cual, se representa con la literal x.
Como a Enrique le dieron 6 vales, y de acuerdo a lo estudiado, esos seis vales se pueden representar algebraicamente como “6x”; del mismo modo, se pueden representar los cuatro vales que recibió María, como “4x”.
Por otro lado, ambos reciben el mismo pago, por lo que se establece una igualdad entre lo percibido por ambos; es decir, como a Enrique le entregaron 6 vales y 1000 pesos, se puede representar algebraicamente como: 6x + 1000, y María que recibió 4 vales y 5000 pesos, algebraicamente se representa como: 4x + 5000, formulando así la siguiente ecuación:
6x + 1000 = 4x + 5000

Enrique		María

6 vales y $ 1 000		4 vales y $ 5 000

6x + 1000		4x + 5000

ol>

Así, se ha representado la situación anterior mediante una ecuación lineal, de la forma:

ax+b = cx+d

Ahora, se resolverá la ecuación para determinar el valor de la incógnita.

Como se mencionó anteriormente, resolver una ecuación es encontrar el valor numérico de la incógnita de tal manera que al sustituirla en la misma ecuación se mantenga la igualdad.

Así que, para resolver una ecuación se puede despejar la incógnita utilizando las propiedades de igualdad. Pero, ¿qué significa despejar una incógnita?

Una ecuación algebraica se compone de dos miembros, por lo que, despejar a una incógnita en una ecuación implica aislar o separar dicha incógnita, en cualquier lado de la igualdad.
Para este problema que se está revisando, se elige despejar el primer miembro de la igualdad, así que se emplearán las propiedades de la igualdad, principalmente la propiedad uniforme; pero retomando la pregunta: ¿qué significa despejar una incógnita?
Significa que se transferirá al segundo miembro los términos que no involucren a la incógnita, utilizando las operaciones inversas o contrarias.
¿Recuerdas qué es una operación inversa?
Una operación inversa es un proceso aritmético que implica realizar lo contrario de una operación aritmética, por ejemplo:
Lo inverso de la adición es la sustracción y lo inverso de la sustracción es la adición; asimismo, de la multiplicación, la división; y de la división, la multiplicación.

Inversa de la
Adición		Sustracción
Sustracción		Adición
Multiplicación		División
División		Multiplicación

ol>

Como puedes observar en el problema que se está revisando, en ambos miembros de la igualdad se tiene una incógnita, con sus términos constantes.

Los números que afectan a la incógnita “x” son las constantes 1,000 y 5,000, así como sus coeficientes: 6 y 4, dando lugar a la ecuación:

6x + 1000 = 4x + 5000

En esta ecuación se hará uso de la propiedad uniforme de la igualdad que has estudiado anteriormente. Para ello, agruparás los términos con incógnita en el primer miembro y los términos constantes en el segundo miembro, aplicando las operaciones inversas; en este caso 4x, que está sumando en el segundo miembro, pasa restando al primer miembro, y por lo que respecta a la constante mil, la cual está sumando, se pasará al segundo miembro restando, quedando así:

Y en la ecuación, quedaría representado así:

6x – 4x = 5000 – 1000

Simplificando los términos semejantes, 6x menos 4x, te queda 2x, y a 5000 le restas 1000 obteniendo 4000:

2x = 4000

Para despejar la incógnita, pasas a su coeficiente 2, que la está multiplicando, al segundo miembro con su operación inversa, esto es, dividiendo al 4000.

Realizando la operación obtienes que “x” es igual a 2000.

Esto significa que, el valor de cada uno de los vales es de 2,000 pesos, respondiendo así la pregunta del problema planteado.

Pero, ¿cómo sabes si el resultado es correcto?

Para comprobar que este resultado es el correcto, sustituyes el valor numérico obtenido en la ecuación que surgió a partir de la situación planteada, sustituyendo este valor en el lugar donde se encuentre la literal “x”. Como lo verás a continuación:

Retomando la ecuación original:

6x + 1000 = 4x + 5000

Vas a sustituir la incógnita “x”, escribiendo el valor numérico 2,000 en su lugar.

Cuando se tiene un número y una literal juntos, sin algún signo de suma o resta entre ellos, estos se están multiplicando; por lo tanto, como en la ecuación se tiene un término 6x esto significa que se multiplica 6 por 2000 y el otro término 4x es 4 por 2000, quedando como:

6( 2000)+ 1000=4(2000)+5000

Realizando las operaciones correspondientes en ambos miembros de la igualdad, se obtiene que; 6 por 2000 es 12000 y 4 por 2000 es 8000.

Obteniendo así:

12000+1000=8000+5000

Al realizar la suma, en cada uno de los miembros, se obtiene que:

13000 = 13000

Por lo que la igualdad se mantiene, demostrando así que el valor obtenido de los vales al resolver la ecuación, es el correcto; y que María y Enrique, recibieron el mismo pago.

Una ecuación, es una igualdad en donde hay una o varias incógnitas con un valor desconocido; para poder conocer dicho valor se resuelve la ecuación, aplicando las propiedades de la igualdad. Considera que se está explicando la manera común, esto es: “despejando la incógnita o valor desconocido, aplicando las operaciones inversas”.

Como has visto, las ecuaciones sirven para resolver algunas situaciones cotidianas, mediante su modelación matemática. Revisa otro ejemplo, del uso y la solución adecuada, de una ecuación: En ocasiones, en la época de cosecha ya sea de granos, vegetales o frutas, los comuneros de tierras ejidales juntan sus cosechas para venderlas a un solo distribuidor,

Tal fue el caso de los comuneros Martín, Ricardo, y la comunera, Raquel; quienes juntaron sus cosechas para venderlas a una sola persona. La cosecha de Raquel corresponde al doble de la cosecha de Ricardo. La cosecha de Ricardo corresponde al triple de la cosecha de Martín.

Si el distribuidor les pagó 63, 000 pesos por todo, ¿cuánto dinero deben recibir Raquel, Ricardo y Martín en relación a su respectiva cosecha? ¿Cómo se puede determinar lo que debe recibir cada quién? Una estrategia que se puede seguir es, modelar esta situación mediante una ecuación; para ello, considera, que debes identificar, las cantidades conocidas y desconocidas, es decir, las constantes y las incógnitas.

En esta situación puedes identificar rápidamente una constante. En este caso, la constante son los 63,000 pesos que recibieron por el pago de toda la cosecha que juntaron los tres. Pero, no se sabe exactamente la cantidad de cosecha que aportó cada quien; por lo tanto, esto corresponde a una incógnita, la cual se puede representar mediante la literal x.

Con las expresiones algebraicas que se han obtenido, las cuales corresponden a tres personas, se puede formular una ecuación, tomando en cuenta que la cosecha que corresponde a Raquel más la de Ricardo más la de Martín es equivalente a 63,000 pesos, obteniendo así el modelo matemático, del cual se obtuvo una ecuación lineal que es:
6x + 3x + x = 63000
Por lo tanto, para determinar la cantidad de dinero que le corresponde a cada persona, hay que resolver esta ecuación.
Ya sabes que resolver una ecuación es encontrar el valor de la incógnita que mantenga la igualdad, para ello analiza qué debes hacer.
Observa que, las expresiones que están en el miembro izquierdo —6x, 3x y x— son términos semejantes, por lo que las puedes sumar obteniendo 10x, reduciendo la ecuación a: 10x=63000

Para encontrar el valor de la incógnita que hace verdadera la igualdad, aplicarás las propiedades de la igualdad. Has aprendido que dichas propiedades permiten “despejar la incógnita”. En este caso, puedes aplicar la propiedad uniforme, del mismo modo que la estudiaste.

Entonces, ¿qué operación puedes hacer, en ambos miembros de la igualdad, para despejar la incógnita?
¿Sumar 10, restar 10, dividir entre 10 o multiplicar por 10?
La respuesta es que, ya que el coeficiente 10 está afectando a la incógnita “x”, entonces para despejarla, hay que dividir entre 10 a ambos miembros de la igualdad, obteniendo así 10x entre 10 y 63000 entre 10
Al dividir 10 entre 10, en el primer miembro, se obtiene 1, recuerda que el 1 se puede o no escribir.
Y, al calcular el cociente, en el segundo miembro, de 63000 entre 10, se obtiene el valor de la incógnita “x”, el cual es de 6300
Has llegado a la solución de la ecuación, en donde el valor que corresponde a la incógnita x es 6300
Ahora, ¿de qué manera, esta solución, te ayuda a determinar la cantidad de dinero que debe recibir cada quien, de acuerdo a la cantidad de su cosecha?
Como la cosecha de Raquel se representó, algebraicamente, como “6x” y el valor de “x” que se encontró al resolver la ecuación es 6300, sólo sustituyes dicho valor en la expresión algebraica, de la siguiente manera: 6 por 6,300. Al resolver este producto, se obtiene 37,800
Esto significa que Raquel recibió 37,800 pesos, por su respectiva cosecha.
Del mismo modo, calcula lo que recibió Ricardo lo cual fue representado, algebraicamente, como “3x”, es decir, sustituye el valor numérico de x, 6300, en dicha expresión, de la siguiente manera: 3 por 6,300, se obtiene 18,900
Entonces, Ricardo recibió 18,900 pesos por su respectiva cosecha.
Por último, la cosecha que corresponde a Martín se representó con la literal “x”, y como x es igual a 6,300, entonces, Martín recibió 6,300 pesos por su respectiva cosecha.

Bien, has determinado la cantidad de dinero que le corresponde a cada persona. Para verificar que lo que recibieron fue correcto, obtén el total de lo que recibieron respectivamente, ya que la suma de las tres cantidades tiene que ser igual a 63,000 pesos.

37,800 pesos que recibió Raquel más 18,900 de Ricardo más los 6,300 de Martín, se obtienen los 63,000 pesos que les pagó el distribuidor.
Observa que, al modelar algebraicamente esta situación, te permitió determinar una solución a una situación que está inmersa en un contexto cotidiano.
En tu libro de texto puedes buscar el aprendizaje esperado que estas estudiando; en él podrás encontrar la siguiente información:
Resolver una ecuación significa encontrar el valor de la incógnita para el cual el número representado en el miembro izquierdo del signo de igualdad es el mismo que el número del miembro derecho.
Por ejemplo;
En la ecuación 3x-1=20, la solución es x=7, ya que al sustituir este valor en la misma tenemos que 3(7)-1=20.
La solución de una ecuación lineal con una incógnita es un único número, es decir, no puede haber dos valores distintos de la incógnita que hagan cierta a la igualdad.
Por ejemplo, x=2, no es solución de 3x-1=20, ya que 3(2) -1 = 5, lo cual es diferente a 20.
Así es, una ecuación lineal puede tener sólo una solución o ninguna; y, además, esta solución resuelve una situación, que se puede presentar en tu vida diaria, mediante un modelo matemático llamado ecuación.
Revisa un ejemplo más para modelar algebraicamente una situación de tu contexto y encontrar su respectiva solución al resolver la ecuación que se forme de acuerdo a dicha problemática.

Para celebrar alguna festividad, se tiene por costumbre colocar adornos; por ejemplo, al celebrar el Día de Muertos, en el país, se adorna con papel picado; en los cumpleaños se colocan globos, serpentinas; entre otros. Para ello, es necesario comprar los adornos o hacerlos para economizar gastos.

Así como lo hizo la señora Bernabé, quien realizó sus propios adornos para celebrar el cumpleaños de su hijo. Para hacer sus adornos ha cortado rectángulos de papel de 225 cm cuadrados de área para dividirlos en dos secciones y pintar de color naranja la parte de arriba y de color verde la de abajo. La siguiente figura representa un modelo de dicho adorno.

¿Cuánto mide el ancho de la sección de color naranja? Para responder, construye una ecuación que modele esta situación. Observa que se tiene la superficie total del rectángulo que se va a seccionar, la cual es de 225 centímetros cuadrados; este es un dato conocido, por lo que es una constante. Por otro lado, también se tiene otro dato, el cual es la longitud de uno de sus lados, siendo éste de 15 centímetros, por lo que se tiene otra constante.

Como uno de sus lados se secciona en dos partes que no son iguales, éste se compone de la suma de 5 cm, más 2x, siendo la sección de 2x el valor numérico que debes determinar; por lo tanto, es un dato desconocido y la incógnita en este caso es la literal “x”.
Recuerda que para calcular el área de un rectángulo basta con multiplicar su base por su altura.
Por lo tanto, para determinar el valor del ancho del rectángulo de color naranja, aplica la fórmula para calcular el área del rectángulo grande, la cual es A= b(h), con los datos que se te proporcionan, esto es, si consideras que la base del rectángulo grande es el lado con la longitud de 15 cm, su altura, la suma de 5 cm más 2x y su área la cual también se te proporciona, es de 225 centímetros cuadrados, puedes modelar una ecuación sustituyendo estos datos en la fórmula del área del rectángulo, obteniendo así la siguiente ecuación:
225 es igual al producto de 15 por la suma de 5 más 2x
Aplicando la propiedad simétrica de la igualdad, en donde dice que se pueden cambiar el orden de los miembros sin que la igualdad se altere, cambia el orden de tu ecuación para que la incógnita quede del lado izquierdo de la igualdad y después despejar la incógnita, para que quede de la siguiente manera:
15 por la suma de 5 más 2x igual a 225
Para resolver la ecuación aplica la propiedad distributiva, multiplicando al factor 15 por cada uno de los términos del otro factor, obteniendo:
15 por 5, más 15 por 2x igual a 225
Donde al realizar las multiplicaciones, se obtiene:
75 + 30x = 225
Tal como se ha explicado en esta lección, para resolver la ecuación, hay que despejar la incógnita y para ello, utilizas la propiedad uniforme de la igualdad.
¿Qué operación se debe hacer para ello?
La respuesta es que, restas 75 en ambos miembros de la igualdad obteniendo:
75 – 75 + 30x = 225 – 75
Que al realizar las operaciones aritméticas se obtiene:
30x = 150

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Sabes que despejar la incógnita es dejarla sola. ¿Qué te falta por realizar? Así es, quitar su coeficiente 30, por lo que divides entre 30 a ambos miembros de la igualdad, esto es: 30x entre 30 igual a 150 entre 30, por lo que, al dividir 30 entre 30 se queda únicamente la “x”, y al dividir 150 entre 30 se tiene un resultado de 5, obteniendo así el valor de la incógnita, por lo que “x” es igual a 5.

Por lo tanto, al retomar el lado representado con “2x”, en el rectángulo de color naranja que se quiere determinar. Únicamente sustituyes el valor obtenido en la expresión “2x”, quedando como 2 por 5, y al realizar la multiplicación se obtiene la medida del ancho del rectángulo de color naranja, siendo éste de 10 cm.

Así, se da respuesta a la pregunta: ¿Cuánto mide el ancho de la sección de color naranja?

Haciendo un recuento de lo que revisaste este día, se puede decir que en esta lección se resolvieron situaciones de tu entorno traduciéndolas al lenguaje algebraico, dando lugar a ecuaciones de las formas ax+b=c y ax+b= cx+d, a las que se les conoce como ecuaciones lineales o de primer grado.
También se estudió que, para comprobar los resultados, se sustituye el valor obtenido de la incógnita en la ecuación original y se comprueba que si cumple la igualdad el resultado al resolver la ecuación entonces es correcto, y si no se cumple la igualdad el resultado es incorrecto.

Has concluido el tema del día de hoy. Si quieres conocer más sobre este tema, revisa tu libro de texto y resuelve situaciones similares a las que se plantearon en esta sesión. Asimismo, si tienes alguna duda acércate con tu profesor o profesora de esta asignatura.

El r eto de h oy : Comprueba que el valor numérico de la incógnita del último ejercicio que realizaste en esta sesión, relacionado con los adornos de fiesta, sea el correcto.
Para ello debes realizar la sustitución del valor de la incógnita x = 5 en la ecuación original y resolver las operaciones aritméticas correspondientes, de tal manera que se cumpla la igualdad.

¡ Buen trabajo! Gracias por tu esfuerzo, : ¿Qué significa resolver una ecuación lineal?

¿Cómo resolver una ecuación con dos incógnitas?

Ecuaciones con dos incógnitas – A veces podrás ver una ecuación con dos variables, como la siguiente: 2x+6y-10=38 Si una ecuación tiene dos o más variables o incógnitas, no es posible resolverla completamente. Lo que sí puedes hacer es resolver la ecuación para solo una variable.

El proceso consiste en simplificar todo lo que sea posible y dejar la incógnita que estás resolviendo a un lado de la ecuación y el resto, al otro lado.
Para que lo entiendas mejor, mira cómo resolver la siguiente ecuación para x : 2x+6y-10=38 Siguiendo el orden de las operaciones, no hay nada que puedas hacer, así que debes cancelar términos.

Como quieres la x sola, intentarás cancelar todo lo demás a la izquierda. Empieza cancelando el -10 sumando su inverso aditivo, +10, en ambos lados de la ecuación.2x+6y-10 color(#8c6eff)(+10)=38 color(#8c6eff)(+10) 2x+6y cancel(-10 color(#8c6eff)(+10))=38 color(#8c6eff)(+10) 2x+6y=38 color(#8c6eff)(+10) 2x+6y=color(#8c6eff)(38+10) 2x+6y=color(#8c6eff)(48) Ahora cancelarás 6y,

Suma su inverso aditivo, -6y, en ambos lados de la ecuación.2x+6y color(#8c6eff)(-6y)=48 color(#8c6eff)(-6y) 2x cancel(+6y color(#8c6eff)(-6y))=48 color(#8c6eff)(-6y) 2x=48 color(#8c6eff)(-6y) El paso a seguir es cancelar el 2 que acompaña a x,
Puedes multiplicar ambos lados de la ecuación por su inverso multiplicativo, 1/2,

color(#8c6eff)(1/2)2x=color(#8c6eff)(1/2)(48-6y) cancel(color(#8c6eff)(1/2)2)x=color(#8c6eff)(1/2)(48-6y) x=color(#8c6eff)(1/2)(48-6y) Recuerda que un número junto a un paréntesis multiplica todos los términos dentro, entonces puedes simplificarlo de la siguiente forma: x=color(#8c6eff)(1/2)(48)-color(#8c6eff)(1/2)(6y) x=color(#8c6eff)(48/2)-color(#8c6eff)(6/2)y x=color(#8c6eff)(24)-color(#8c6eff)(3)y Así termina.

¿Cuál es el método gráfico?

Método gráfico Es el método que permite la solución de problemas de programación lineal, el cual se encuentra limitado a problemas de dos variables de decisión, debido a que no es posible una representación gráfica de más de tres dimensiones.

¿Cuántos tipos de sistemas de ecuaciones hay?

Hay tres formas principales de sistemas de ecuaciones lineales: la forma punto-pendiente, la forma estándar y la forma pendiente-ordenada al origen.

¿Cuál es el metodo más fácil para resolver ecuaciones lineales?

Métodos para resolver sistemas de ecuaciones – Existen tres métodos para resolver un sistema de ecuaciones. El método de sustitución, el de reducción y el de igualación, El objetivo de cualquiera de estos métodos es reducir el sistema a una ecuación de primer grado con una incógnita.

Despejamos x o y en una de las dos ecuaciones. Por ejemplo, y en la primera:

Sustituimos este valor en la otra ecuación. En este caso, en la segunda:

Nos queda una ecuación con una sola incógnita, que resolvemos:

Calculamos el valor de la otra incógnita:

La solución que se obtiene es:

El último paso es comprobar que la solución obtenida está bien:

Método de reducción Con este método se trata de eliminar una incógnita buscando sistemas equivalentes en donde los coeficientes de una misma incógnita sean opuestos. Recuerda la regla de la suma y del producto que usábamos para obtener ecuaciones lineales equivalentes a una dada. Nivel II, Módulo 1, punto 3. Ejemplo:

Queremos que una de las dos incógnitas tenga en ambas ecuaciones el mismo coeficiente pero con distinto signo. Por ejemplo, la incógnita x en la primera ecuación ha de tener un -2, Para ello transformamos la ecuación en otra equivalente multiplicándola por -2:

Por la regla de la suma podemos obtener otra ecuación equivalente, sumando a ambos lados de la ecuación la misma cantidad. Podemos sumar ambas ecuaciones:

La otra incógnita se obtiene sustituyendo el valor de y en una de las dos ecuaciones iniciales. Por ejemplo, en la primera:

La solución del sistema es:

El último paso es comprobar que la solución está bien. Hazlo como ejercicio.

Método de igualación En este método hay que despejar la incógnita x o y en las dos ecuaciones. Luego se igualan sus valores, obteniendo una ecuación lineal con una sola incógnita. Ejemplo:

Despejamos x o y en ambas ecuaciones.

Observa los coeficientes de las incógnitas. Es más cómodo despejar la incógnita que tiene de coeficiente uno, en este caso es la y,

Si los primeros miembros son iguales, también lo son los segundos. Por tanto, podemos igualarlos. Obtenemos una ecuación con una sola incógnita, en este caso x,

Nos falta calcular la otra incógnita. Podemos sustituir en cualquiera de las dos ecuaciones.

La solución del sistema es:

Por último, hay que comprobar que la solución cumple las ecuaciones del sistema.

¿Cómo saber si un sistema es incompatible?

Inicio
Matemáticas 1
Unidad 4
Método de sustitución
S. compatibles e incompatibles

Los sistemas de ecuaciones lineales pueden ser compatibles o incompatibles. Un sistema es compatible cuando tiene solución única o infinidad de soluciones; por otro lado, es incompatible cuando no tiene solución. A continuación se resolverán diferentes sistemas de ecuaciones de manera algebraica con el Método de sustitución, para revisarlos dirígete al menú o haz clic en ‘Siguiente’.

a) Sistema compatible con solución única
b) Sistema compatible con infinidad de soluciones
c) Sistema incompatible sin solución

¿Cómo saber si un sistema no tiene solución?

Un sistema de ecuaciones lineales no tiene solución cuando las gráficas son paralelas. Se muestra un plano coordenado. Los ejes X y Y escalan de un medio en un medio. La gráfica de una recta pasa por los puntos cero, uno y medio y tres, dos.

¿Qué es una ecuación cuadrática ejemplos?

Ecuación de segundo grado

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
DESCRIPCIÓN

Son ecuaciones de segundo grado aquellas en las que la incógnita aparece al menos una vez elevada al cuadrado (x 2 ). Por ejemplo: 3x 2 – 3x = x – 1,

Pasemos al primer miembro de la ecuación todos los términos de forma que en el segundo miembro quede 0. Obtenemos:
3x 2 – 4x + 1 = 0, que es la forma en que deberemos expresar todas la ecuaciones de segundo grado para resolverlas.
En muchos casos, una vez conseguida esta forma, la ecuación se puede simplificar, lo cual es muy conveniente. Por ejemplo:
Ejercicio 1,- Expresar en la forma más simple y simplificada posible, la ecuación:
3x 2 – 3x/2 = x/2 – x + 2 + x 2
Primero haremos denominador común para eliminar los denominadores existentes. Llegaremos a:
6x 2 – 3x = x – 2x + 4 + 2x 2
Expresando todos los términos en el primer miembro: 4x 2 – 2x – 4 = 0
y simplificando (dividiendo todo por 2): : 2x 2 – x – 2 = 0,
RESOLUCIÓN GRÁFICA
Enseguida la resolveremos numéricamente, pero ahora veamos cómo hacerlo gráficamente:
La expresión del primer miembro de la ecuación, una vez simplificada, corresponde a una función cuadrática, que para el primer ejemplo anterior corresponde a :
f(x) ó y = 3x 2 – 4x + 1,
Observa en la siguiente escena su representación gráfica.
Como puede verse la gráfica corresponde a una curva que se llama ” parábola “.
En este caso la parábola corta al eje de abscisas (X) en dos puntos; los valores de la abscisa “x” de dichos puntos serán la solución de la ecuación ya que para ellos y = 0 o sea: 3 x 2 – 4x + 1 = 0 que es lo que deseábamos.
Busca dichos valores de x moviendo el punto destacado sobre la curva o los valores de x en la ventana inferior de la escena (También puedes escribir un valor concreto de x borrando el actual).
Por tanto:
La solución de una ecuación de segundo grado es la “x” de los puntos de corte de la gráfica (parábola), que se obtiene de la ecuación, con el eje de abscisas (X).
Seguro que habrás obtenido como soluciones: x = 1 y x = 0,33 (en realidad x = 1/3).
A las soluciones de la ecuación, también se les llama ” raices ” de la ecuación.
SOLUCIÓN GENERAL DE LA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO
Como vimos en la descripción, cualquier ecuación de segundo grado se puede expresar de la forma:
ax 2 +bx + c = 0

donde a, b y c serán números enteros (positivos o negativos). Para ello bastará obtener el denominador común (si hay denominadores), para eliminarlo y pasar todos los términos al primer miembro.

Sabemos que una vez conseguida dicha forma, las dos “posibles” soluciones de la ecuación son:
Así la ecuación del ejemplo inicial: 3x 2 – 4x + 1 = 0 : tendrá por soluciones:
Luego 1 y 0,33 son las dos soluciones o raíces de la ecuación.
Ejercicio 2,- Resolver las siguientes ecuaciones
a) x 2 /2 = x/2 + 3
b) 3x 2 = 12
Resuelve numéricamente en el cuaderno de trabajo ambas ecuaciones (“atención al denominador común en la primera”).
En la escena siguiente asigna a las letras (parámetros) “a”, “b” y “c” los valores correspondientes para cada ecuación (puedes hacerlo con las “flechitas” de las ventanas o borrando los valores actuales y escribiendo los nuevos directamente.
(Modifica si lo deseas el valor de la “escala” si no se ve la gráfica completa)

Mueve el punto rojo hasta encontrar el punto de corte de la parábola con el eje X. También puedes cambiar los valores de x en la ventana inferior.

Los valores de x que obtienes deben coincidir con las soluciones numéricas halladas antes.
En el ejemplo a) del ejercicio deberás llegar a que: “a = 1”, “b = -1” y “c = -6 ” con lo que se obtienen las soluciones de la ecuación:
x = -2 ; x = 3,

En el ejemplo b), las soluciones deben ser x = 2 y x = -2 ( “ojo” que en este caso b = 0,) Seguro que esta ecuación también sabes resolverla sin usar la fórmula (decimos que es una ecuación de segundo grado incompleta ).

basta observar que 3x 2 = 12 es lo mismo que x 2 = 4 y por tanto x = raiz cuadrada de 4, o sea 2 o -2.
Por tanto:
“Si la parábola corta al eje X en dos puntos, los valores de x en esos puntos son la dos soluciones o raíces de la ecuación de segundo grado”
EJERCICIOS
Utiliza la siguiente escena, cambiando los valores de los parámetros a, b y c de forma adecuada, para resolver las siguientes ecuaciones gráficamente.
a) x 2 – 2x -1 = 0
b) x 2 -1/4 = 0
c) 4x 2 – 4x +1 = 0
Resuélvelas numéricamente en el cuaderno de trabajo usando la fórmula para comprobar que obtienes las mismas soluciones.
PROBLEMAS DE APLICACIÓN
Los siguientes problemas se plantean mediante una ecuación de segundo grado, aunque luego al resolverla pueda dar lugar a una ecuación de primer grado en algún caso.
Problema 1,- Calcular la hipotenusa de un triángulo rectángulo, sabiendo que las medidas de sus lados son tres números consecutivos
Solución : Se puede realizar el siguiente dibujo del problema, teniendo en cuenta que la hipotenusa el el lado mayor y llamando “x” al menor de los catetos.

Teniendo en cuenta el teorema de Pitágoras, se cumple: (x+2) 2 = (x+ 1) 2 + x 2,
Operando: x 2 + 4x + 4 = x 2 + 2x + 1+ x 2,
Agrupando todos los términos en el segundo miembro y simplificando: x 2 – 2x – 3 = 0
Ecuación que sabes resolver numéricamente, con soluciones: x = 3 y x = -1 como puede verse en la siguiente escena.
Naturalmente la solución x =-1 hay que rechazarla porque un lado no puede tener una medida negativa, luego nos queda:
Hipotenusa : x + 2 = 5 ; Cateto mayor : x + 1 = 4 ; Cateto menor : x = 3.
Plantea la ecuación necesaria en cada caso para resolver los siguientes problemas. Resuélvelas numéricamente y también gráficamente usando la escena anterior

Problema 2.- Un rectángulo la base mide el triple que la altura. Si disminuimos en 1 cm. cada lado, el área inicial disminuye en 15 cm, Calcular las dimensiones y el área del rectángulo inicial. (Sugerencia: Realiza un dibujo del problema). Solución: Base = 12 cm.

Altura = 4 cm.
Problema 3,- Hallar tres números impares consecutivos, tales que si al cuadrado del mayor se le restan los cuadrados de los otros dos se obtiene como resultado 7.
Solución: 5, 7, y 9 ) Problema 4,- La edad de un padre es el cuadrado de la de su hijo.
Dentro de 24 años la edad del padre será el doble de la del hijo.

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¿Cuántos años tiene ahora cada uno? (Solución: 6 y 36) Autor: Leoncio Santos Cuervo


Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2000

Ecuación de segundo grado

¿Cómo se resuelve una ecuación cuadrática completa?

La ecuación general de 2do. Grado Ecuaciones cuadráticas completas: $a x^ +b x+c=0$ Resolver ecuaciones de segundo grado completas por alguno de los siguientes métodos: factorización, completar el trinomio cuadrado perfecto o fórmula general. Para resolver ecuaciones cuadráticas de la forma $a x^ +b x+c=0$ se puede utilizar cualquiera de los siguientes métodos:

Factorización. Primero hay que expresar la ecuación como el producto de dos binomios. Después se resuelve la ecuación igualando a cero cada factor, y despejando $x$ en cada uno de ellos. Completar el trinomio cuadrado perfecto. Consiste en transformar a la ecuación en la forma $(x+m)^ =n$ y posteriormente encontrar las raíces de la misma. Fórmula general. Consiste en sustituir los valores de $a$, $b$ y $c$ en la fórmula: $$x= \frac – 4ac}} $$ llamada fórmula general para resolver la ecuación de segundo grado.

En el menú que se presenta a continuación, elige el procedimiento que quieras estudiar y luego, en el recuadro interactivo, pulsa:

Continuar para desplegar cada paso de la solución. Otro ejemplo si deseas ver más casos.

Resuelve en tu cuaderno la siguiente ecuación utilizando el método que prefieras. Después introduce tu respuesta y verifícala. Presiona el botón Otro ejercicio para resolver más ecuaciones. Unidades interactivas para bachillerato desarrolladas por la Dirección General de Evaluación Educativa de la UNAM en colaboración con el Instituto de Matemáticas y el Proyecto Arquímedes.

Autora : Valentina Muñoz Porras Edición académica : José Luis Abreu León Edición técnica : Norma Patricia Apodaca Alvarez Adaptado a DescartesJS en el proyecto LITE 2013 financiado por CONACyT.
Adaptación : Víctor Hugo García Jarillo y Deyanira Monroy Zariñán Asesoría técnica : José Luis Abreu León, Oscar Escamilla González y Joel Espinosa Longi Adaptado para dispositivos móviles por la DGTIC en colaboración con el IMATE y el LITE.

Diciembre de 2014. Adaptación : Juan José Rivaud Gallardo Asesoría técnica : José Luis Abreu León y Joel Espinosa Longi Coordinación : Deyanira Monroy Zariñán Actualización tecnológica y de estilo, 2019. Actualización : Joel Espinosa Longi Los contenidos de esta unidad didáctica interactiva están bajo una licencia Creative Commons, si no se indica lo contrario. Los componentes interactivos fueron creados con Descartes que es un producto de código abierto.

¿Qué es una ecuación y de un ejemplo?

Resolviendo Ecuaciones

Resolviendo Ecuaciones
Objetivos de Aprendizaje
· Despejar variables usando la Propiedad Inversa y las Operaciones Inversas.
· Resolver ecuaciones algebraicas usando las Propiedades de la Igualdad.

Las matemáticas tratan con, Las ecuaciones nos proporcionan una forma precisa de describir, compartir y resolver problemas. Las ecuaciones algebraicas nos permiten explorar aún más allá pues nos permiten abordar problemas que incluyen cantidades desconocidas.

Para tener éxito con el álgebra, debes entender qué son las ecuaciones y como se escriben y se resuelven.
Una ecuación es una declaración matemática donde dos expresiones son iguales.
En una ecuación numérica simple, expresiones hechas de números y operaciones aparecen a cada lado del signo igual.
El signo igual significa que las dos expresiones tienen el mismo valor.

Por ejemplo, 3 + 9 = 12 es una ecuación. La expresión de la izquierda, 3 + 9, tiene el mismo valor que la expresión de la derecha, 12. Se escriben de distintas maneras, pero las dos representan la misma cantidad. Las ecuaciones algebraicas no sólo tienen números, sino también, símbolos que representan una cantidad desconocida.

En la ecuación 2 y = 14, ¿cuál es la variable y cuál es el coeficiente?
A) La variable es y y el coeficiente es 2.
B) La variable es y y el coeficiente es 14.
C) La variable es 14 y el coeficiente es 2.
D) La variable es 2 y el coeficiente es y.

La respuesta correcta es la opción A. La variable es y y el coeficiente es 2. Una variable es un símbolo, y un coeficiente es un número que multiplica a la variable. Las ecuaciones no son fijas, pueden ser modificadas, siempre y cuando la igualdad se mantenga en ambos lados del signo igual.

Reescribimos ecuaciones para hacerlas más simples o para resolverlas.
La solución de ecuaciones algebraicas a menudo significa despejar o aislar la variable, o reescribir la ecuación de tal forma que una expresión sea sólo la variable con un coeficiente de 1.
Para despejar la variable, necesitamos encontrar la forma de mandar el resto de su expresión y su coeficiente al otro lado de la ecuación.

Despejando Variables con la Propiedad Inversa Hay dos formas de dejar a la variable sola usando la Propiedad Inversa. La nos dice que cualquier número sumado con su opuesto resulta cero. Podemos usar ésta propiedad para deshacernos de cualquier valor que esté junto a la variable.

Por ejemplo, en la expresión y + 2, podemos quitar el 2 sumando su opuesto, -2.
Y + 2 + (-2) es y + 0.
Y queda sólo y,
Hemos eliminado un número de la expresión al sumarle su opuesto.
La nos dice que cuando multiplicamos cualquier número por su inverso, el resultado es 1.
Considera la expresión 4 y,4 es el coeficiente de la variable y,

Queremos que la variable tenga un coeficiente de 1. Entonces, multipliquemos 4 y por el inverso multiplicativo de 4. El inverso de 4 es ¼. Cuando multiplicamos ¼ por 4 y los 4’s se cancelan, dejando sólo 1 y, Hemos convertido el coeficiente de y en 1 multiplicando el coeficiente por su inverso multiplicativo.

Despejando Variables con la Operación Inversa Hay una forma un poco diferente de hacer lo mismo, despejar términos y reducir sus coeficientes a 1 y es mediante la aplicación de,
A algunas personas les parece ésta idea más sencilla de manejar que las Propiedades Inversas.
Las operaciones inversas vienen en pares, una operación cancela o deshace a la otra.

Un ejemplo no matemático de una operación inversa es el atar y desatar tus agujetas. Al atar tus zapatos, creas un nudo simple; al desatarlos deshaces el nudo. En las matemáticas, la suma y la resta son operaciones inversas, cualquier cosa añadida por la suma se puede quitar con la resta.

Por ejemplo, considera la expresión 9 + 8. Podemos “deshacer” la suma de 8 si añadimos la operación inversa que es restar 8.9 + 8 – 8 es simplemente 9. La suma y la resta de 8 se han cancelado una a la otra. La multiplicación y la división son también operaciones inversas. La multiplicación puede deshacerse usando la división, y la división puede deshacerse usando la multiplicación.

En la expresión 6 x, x está siendo multiplicada por 6. Podemos cancelar la multiplicación si dividimos entre 6.6 x dividido entre 6 es simplemente x,

¿Cómo despejarías la variable en la expresión ?
A) Dividiendo entre 3.
B) Multiplicando por,
C) Multiplicando por 3.
D) Dividiendo entre n,

A) Dividiendo entre 3. Incorrecto. Es posible cancelar una operación al aplicar la operación inversa. Como la variable n esta siendo dividida entre 3, la operación inversa no es otra división entre 3 sino la multiplicación por 3. La respuesta correcta es multiplicar por 3.

B) Multiplicando por, Incorrecto. Puedes eliminar un coeficiente al multiplicar por su inverso. El inverso de 1/3 es 3, no 1/3. O puedes cancelar la operación al aplicar la operación inversa. Como la variable n esta siendo dividida entre 3, la operación inversa no es otra división sino la multiplicación por 3.

C) Multiplicando por 3. Correcto. Puedes eliminar un coeficiente al multiplicarlo por su inversa. La inversa de 1/3 es 3. O puedes cancelar la operación si aplicas la operación inversa: la división de n entre 3 puede ser eliminada por la multiplicación por 3.

D) Dividiendo entre n.
Incorrecto.
Despejar la variable significa eliminar su coeficiente de tal forma que la variable quede aislada y con coeficiente 1.
La división entre n elimina la variable y despeja el coeficiente.
La respuesta correcta es multiplicar por 3.
Resolviendo Ecuaciones usando las Propiedades de la Igualdad La Propiedad Inversa y las Operaciones Inversas son sólo la mitad de la historia al manipular ecuaciones.

Recuerda, la definición de una ecuación es que es una declaración de igualdad entre dos expresiones. Una forma de pensar en una ecuación es imaginando que las expresiones que la forman están en cada lado de una balanza. Como las expresiones tienen el mismo valor, la balanza está equilibrada.

Cuando sumamos, multiplicamos, restamos o dividimos una de esas expresiones, cambiamos su valor.
Si sólo hacemos eso, rompemos con el equilibrio de la balanza, los dos lados de la ecuación ya no serían iguales.
Por suerte, las nos explican cómo podemos mantener la balanza y la ecuación equilibradas.
Cada que realizamos una operación en un lado de la ecuación, si hacemos exactamente lo mismo del otro lado, mantenemos ambos lados iguales.

Veamos cómo funciona esto en una ecuación numérica simple ½(10) − 1 = 4. Deshagámonos del -1 que está del lado izquierdo de la ecuación al sumar su opuesto, +1. Necesitamos balancear este cambio haciendo exactamente lo mismo del lado derecho de la ecuación.

¿Cómo resolverías la ecuación 5 + 7z = 19?
A) Restando 5 a ambos lados de la ecuación y dividiendo ambos lados entre 7.
B) Dividiendo ambas expresiones entre 7 y luego sumar -5 a ambos lados de la ecuación.
C) Sumando -5 al lado izquierdo de la ecuación y luego multiplicando por 1/7.
D) Sumando 5 a ambos lados de la ecuación y luego multiplicar cada lado por 7.

A) Restando 5 a ambos lados de la ecuación y dividiendo ambos lados entre 7. Correcto. Puedes despejar la variable usando operaciones inversas para primero quitar otros términos en la expresión y luego eliminar el coeficiente de la variable. Siempre y cuando las mismas operaciones sean realizadas a ambos lados de la ecuación.

B) Dividiendo ambas expresiones entre 7 y luego sumar -5 a ambos lados de la ecuación. Incorrecto. Debes primero eliminar otros términos en la expresión y luego cambiar el coeficiente de la variable a 1. La respuesta correcta es restar 5 a ambos lados de la ecuación y luego dividir ambos lados entre 7.

C) Sumando -5 al lado izquierdo de la ecuación y luego multiplicando por 1/7. Incorrecto. La igualdad de la expresión se pierde si las mismas operaciones no son realizadas a ambos lados de la ecuación. La respuesta correcta es restar 5 a ambos lados de la ecuación y luego dividir ambos lados entre 7.

D) Sumando 5 a ambos lados de la ecuación y luego multiplicar cada lado por 7.
Incorrecto.
Puedes despejar una variable sumando el inverso de los otros términos y multiplicando el por el inverso del coeficiente.
Pero el inverso de 5 es -5, y el inverso de 7 es 1/7.
La respuesta correcta es restar 5 a ambos lados de la ecuación y luego dividir ambos lados entre 7.

Las ecuaciones son expresiones matemáticas que combinan dos expresiones que tienen el mismo valor. Existen varias técnicas para resolver ecuaciones algebraicas, las cuales son ecuaciones que contienen variables. Todas las técnicas tienen el mismo objetivo que es el de despejar o aislar una variable en un lado de la ecuación usando las propiedades de la igualdad y la inversa para así mandar los otros términos al otro lado de la ecuación.

¿Cómo saber si una ecuación es lineal o no?

Resolviendo ecuaciones lineales: Todos los tipos

Una ecuación debe de tener un signo de igual, como en 3 x + 5 = 11.
Una ecuación lineal es aquella donde la(s) variable(s) están multiplicadas por números o sumadas a números, con nada más complicado que eso (sin exponentes, raíces cuadradas, 1/ x, o cualquier otra situación complicada).
Una solución para una ecuación es un número que puede ser introducido en la variable para hacer un enunciado de número verdadero.
Por ejemplo, sustituyendo 2 por x en 3 x + 5 = 11 nos da

3(2) + 5 = 11, que es igual 6 + 5 = 11; esto es verdadero! Así 2 es una solución. Pero como podemos comenzar con la ecuación, y obtener (sin adivinar) la solución?

¿Cómo es el metodo de igualacion?

El método de igualación consiste en despejar la misma incógnita de las ecuaciones dadas y posteriormente hacer la igualación de ambas incógnitas.

¿Cómo se resuelven las ecuaciones lineales ejemplos?

¿Qué significa resolver una ecuación lineal?

¿Qué significa resolver una ecuación lineal?
Aprendizaje esperado: r esuelve problemas mediante la formulación y solución algebraica de ecuaciones lineales.
Énfasis: r epresentar y resolver situaciones con ecuaciones lineales,
¿Qué vamos a aprender?

Asimismo, se dará significado a la solución de la ecuación formada y se analizará cómo dicha solución da respuesta a la situación que se modeló.
¿Qué hacemos? Las ecuaciones son necesarias para resolver diversos planteamientos en los que se busca el valor de una incógnita que hace verdadera la igualdad, permiten relacionar diferentes variables y con ello explicar matemáticamente los fenómenos que se estudian.

Es decir, siempre que está involucrada una incógnita y el signo de igual, se está en presencia de una ecuación, la cual, como ya sabes, consta de dos miembros separados por un signo de igual (=).

A propósito del signo de igualdad, sabías que su inventor fue el Matemático, Robert Recorde ; que, en el año de 1557, se dio cuenta que era necesario representar con un símbolo a la igualdad y para no escribir la frase “es igual” durante un proceso operativo, decidió utilizar dos pequeñas líneas, del mismo tamaño y paralelas de manera horizontal.
Regresando al tema, se puede decir, que toda situación problemática de la vida cotidiana o científica, para su estudio, puede dar pie a una modelación matemática.
Ahora, se iniciará con la ecuación de primer grado, o lineal, usando el siguiente ejemplo:

Para resolver este problema matemático, se comenzará identificando las constantes y las incógnitas, esto es, los valores conocidos y desconocidos, respectivamente.
En este caso, puedes observar que hay dos cantidades de las cuales se conoce su valor, 1,000 pesos que le dieron a Enrique y 5,000 pesos que le dieron a María, por lo tanto, estas cantidades monetarias representan a las constantes.
Ambos recibieron dinero en vales, pero no se sabe, cuál es el valor de cada vale; por lo tanto, esta cantidad es la incógnita, la cual, se representa con la literal x.
Como a Enrique le dieron 6 vales, y de acuerdo a lo estudiado, esos seis vales se pueden representar algebraicamente como “6x”; del mismo modo, se pueden representar los cuatro vales que recibió María, como “4x”.
Por otro lado, ambos reciben el mismo pago, por lo que se establece una igualdad entre lo percibido por ambos; es decir, como a Enrique le entregaron 6 vales y 1000 pesos, se puede representar algebraicamente como: 6x + 1000, y María que recibió 4 vales y 5000 pesos, algebraicamente se representa como: 4x + 5000, formulando así la siguiente ecuación:
6x + 1000 = 4x + 5000

Enrique		María

6 vales y $ 1 000		4 vales y $ 5 000

6x + 1000		4x + 5000

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Así, se ha representado la situación anterior mediante una ecuación lineal, de la forma:

ax+b = cx+d

Ahora, se resolverá la ecuación para determinar el valor de la incógnita.

Como se mencionó anteriormente, resolver una ecuación es encontrar el valor numérico de la incógnita de tal manera que al sustituirla en la misma ecuación se mantenga la igualdad.

Así que, para resolver una ecuación se puede despejar la incógnita utilizando las propiedades de igualdad. Pero, ¿qué significa despejar una incógnita?

Una ecuación algebraica se compone de dos miembros, por lo que, despejar a una incógnita en una ecuación implica aislar o separar dicha incógnita, en cualquier lado de la igualdad.
Para este problema que se está revisando, se elige despejar el primer miembro de la igualdad, así que se emplearán las propiedades de la igualdad, principalmente la propiedad uniforme; pero retomando la pregunta: ¿qué significa despejar una incógnita?
Significa que se transferirá al segundo miembro los términos que no involucren a la incógnita, utilizando las operaciones inversas o contrarias.
¿Recuerdas qué es una operación inversa?
Una operación inversa es un proceso aritmético que implica realizar lo contrario de una operación aritmética, por ejemplo:
Lo inverso de la adición es la sustracción y lo inverso de la sustracción es la adición; asimismo, de la multiplicación, la división; y de la división, la multiplicación.

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Inversa de la
Adición		Sustracción
Sustracción		Adición
Multiplicación		División
División		Multiplicación

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Como puedes observar en el problema que se está revisando, en ambos miembros de la igualdad se tiene una incógnita, con sus términos constantes.

Los números que afectan a la incógnita “x” son las constantes 1,000 y 5,000, así como sus coeficientes: 6 y 4, dando lugar a la ecuación:

6x + 1000 = 4x + 5000

Y en la ecuación, quedaría representado así:

6x – 4x = 5000 – 1000

Simplificando los términos semejantes, 6x menos 4x, te queda 2x, y a 5000 le restas 1000 obteniendo 4000:

2x = 4000

Para despejar la incógnita, pasas a su coeficiente 2, que la está multiplicando, al segundo miembro con su operación inversa, esto es, dividiendo al 4000.

Realizando la operación obtienes que “x” es igual a 2000.

Esto significa que, el valor de cada uno de los vales es de 2,000 pesos, respondiendo así la pregunta del problema planteado.

Pero, ¿cómo sabes si el resultado es correcto?

Retomando la ecuación original:

6x + 1000 = 4x + 5000

Vas a sustituir la incógnita “x”, escribiendo el valor numérico 2,000 en su lugar.

6( 2000)+ 1000=4(2000)+5000

Realizando las operaciones correspondientes en ambos miembros de la igualdad, se obtiene que; 6 por 2000 es 12000 y 4 por 2000 es 8000.

Obteniendo así:

12000+1000=8000+5000

Al realizar la suma, en cada uno de los miembros, se obtiene que:

13000 = 13000

Por lo que la igualdad se mantiene, demostrando así que el valor obtenido de los vales al resolver la ecuación, es el correcto; y que María y Enrique, recibieron el mismo pago.

Como has visto, las ecuaciones sirven para resolver algunas situaciones cotidianas, mediante su modelación matemática.
Revisa otro ejemplo, del uso y la solución adecuada, de una ecuación: En ocasiones, en la época de cosecha ya sea de granos, vegetales o frutas, los comuneros de tierras ejidales juntan sus cosechas para venderlas a un solo distribuidor,

Con las expresiones algebraicas que se han obtenido, las cuales corresponden a tres personas, se puede formular una ecuación, tomando en cuenta que la cosecha que corresponde a Raquel más la de Ricardo más la de Martín es equivalente a 63,000 pesos, obteniendo así el modelo matemático, del cual se obtuvo una ecuación lineal que es:
6x + 3x + x = 63000
Por lo tanto, para determinar la cantidad de dinero que le corresponde a cada persona, hay que resolver esta ecuación.
Ya sabes que resolver una ecuación es encontrar el valor de la incógnita que mantenga la igualdad, para ello analiza qué debes hacer.
Observa que, las expresiones que están en el miembro izquierdo —6x, 3x y x— son términos semejantes, por lo que las puedes sumar obteniendo 10x, reduciendo la ecuación a: 10x=63000

Entonces, ¿qué operación puedes hacer, en ambos miembros de la igualdad, para despejar la incógnita?
¿Sumar 10, restar 10, dividir entre 10 o multiplicar por 10?
La respuesta es que, ya que el coeficiente 10 está afectando a la incógnita “x”, entonces para despejarla, hay que dividir entre 10 a ambos miembros de la igualdad, obteniendo así 10x entre 10 y 63000 entre 10
Al dividir 10 entre 10, en el primer miembro, se obtiene 1, recuerda que el 1 se puede o no escribir.
Y, al calcular el cociente, en el segundo miembro, de 63000 entre 10, se obtiene el valor de la incógnita “x”, el cual es de 6300
Has llegado a la solución de la ecuación, en donde el valor que corresponde a la incógnita x es 6300
Ahora, ¿de qué manera, esta solución, te ayuda a determinar la cantidad de dinero que debe recibir cada quien, de acuerdo a la cantidad de su cosecha?
Como la cosecha de Raquel se representó, algebraicamente, como “6x” y el valor de “x” que se encontró al resolver la ecuación es 6300, sólo sustituyes dicho valor en la expresión algebraica, de la siguiente manera: 6 por 6,300. Al resolver este producto, se obtiene 37,800
Esto significa que Raquel recibió 37,800 pesos, por su respectiva cosecha.
Del mismo modo, calcula lo que recibió Ricardo lo cual fue representado, algebraicamente, como “3x”, es decir, sustituye el valor numérico de x, 6300, en dicha expresión, de la siguiente manera: 3 por 6,300, se obtiene 18,900
Entonces, Ricardo recibió 18,900 pesos por su respectiva cosecha.
Por último, la cosecha que corresponde a Martín se representó con la literal “x”, y como x es igual a 6,300, entonces, Martín recibió 6,300 pesos por su respectiva cosecha.

37,800 pesos que recibió Raquel más 18,900 de Ricardo más los 6,300 de Martín, se obtienen los 63,000 pesos que les pagó el distribuidor.
Observa que, al modelar algebraicamente esta situación, te permitió determinar una solución a una situación que está inmersa en un contexto cotidiano.
En tu libro de texto puedes buscar el aprendizaje esperado que estas estudiando; en él podrás encontrar la siguiente información:
Resolver una ecuación significa encontrar el valor de la incógnita para el cual el número representado en el miembro izquierdo del signo de igualdad es el mismo que el número del miembro derecho.
Por ejemplo;
En la ecuación 3x-1=20, la solución es x=7, ya que al sustituir este valor en la misma tenemos que 3(7)-1=20.
La solución de una ecuación lineal con una incógnita es un único número, es decir, no puede haber dos valores distintos de la incógnita que hagan cierta a la igualdad.
Por ejemplo, x=2, no es solución de 3x-1=20, ya que 3(2) -1 = 5, lo cual es diferente a 20.
Así es, una ecuación lineal puede tener sólo una solución o ninguna; y, además, esta solución resuelve una situación, que se puede presentar en tu vida diaria, mediante un modelo matemático llamado ecuación.
Revisa un ejemplo más para modelar algebraicamente una situación de tu contexto y encontrar su respectiva solución al resolver la ecuación que se forme de acuerdo a dicha problemática.

Así como lo hizo la señora Bernabé, quien realizó sus propios adornos para celebrar el cumpleaños de su hijo. Para hacer sus adornos ha cortado rectángulos de papel de 225 cm cuadrados de área para dividirlos en dos secciones y pintar de color naranja la parte de arriba y de color verde la de abajo. La siguiente figura representa un modelo de dicho adorno.

Como uno de sus lados se secciona en dos partes que no son iguales, éste se compone de la suma de 5 cm, más 2x, siendo la sección de 2x el valor numérico que debes determinar; por lo tanto, es un dato desconocido y la incógnita en este caso es la literal “x”.
Recuerda que para calcular el área de un rectángulo basta con multiplicar su base por su altura.
Por lo tanto, para determinar el valor del ancho del rectángulo de color naranja, aplica la fórmula para calcular el área del rectángulo grande, la cual es A= b(h), con los datos que se te proporcionan, esto es, si consideras que la base del rectángulo grande es el lado con la longitud de 15 cm, su altura, la suma de 5 cm más 2x y su área la cual también se te proporciona, es de 225 centímetros cuadrados, puedes modelar una ecuación sustituyendo estos datos en la fórmula del área del rectángulo, obteniendo así la siguiente ecuación:
225 es igual al producto de 15 por la suma de 5 más 2x
Aplicando la propiedad simétrica de la igualdad, en donde dice que se pueden cambiar el orden de los miembros sin que la igualdad se altere, cambia el orden de tu ecuación para que la incógnita quede del lado izquierdo de la igualdad y después despejar la incógnita, para que quede de la siguiente manera:
15 por la suma de 5 más 2x igual a 225
Para resolver la ecuación aplica la propiedad distributiva, multiplicando al factor 15 por cada uno de los términos del otro factor, obteniendo:
15 por 5, más 15 por 2x igual a 225
Donde al realizar las multiplicaciones, se obtiene:
75 + 30x = 225
Tal como se ha explicado en esta lección, para resolver la ecuación, hay que despejar la incógnita y para ello, utilizas la propiedad uniforme de la igualdad.
¿Qué operación se debe hacer para ello?
La respuesta es que, restas 75 en ambos miembros de la igualdad obteniendo:
75 – 75 + 30x = 225 – 75
Que al realizar las operaciones aritméticas se obtiene:
30x = 150

Por lo tanto, al retomar el lado representado con “2x”, en el rectángulo de color naranja que se quiere determinar. Únicamente sustituyes el valor obtenido en la expresión “2x”, quedando como 2 por 5, y al realizar la multiplicación se obtiene la medida del ancho del rectángulo de color naranja, siendo éste de 10 cm.

Así, se da respuesta a la pregunta: ¿Cuánto mide el ancho de la sección de color naranja?

Haciendo un recuento de lo que revisaste este día, se puede decir que en esta lección se resolvieron situaciones de tu entorno traduciéndolas al lenguaje algebraico, dando lugar a ecuaciones de las formas ax+b=c y ax+b= cx+d, a las que se les conoce como ecuaciones lineales o de primer grado.
También se estudió que, para comprobar los resultados, se sustituye el valor obtenido de la incógnita en la ecuación original y se comprueba que si cumple la igualdad el resultado al resolver la ecuación entonces es correcto, y si no se cumple la igualdad el resultado es incorrecto.

El r eto de h oy : Comprueba que el valor numérico de la incógnita del último ejercicio que realizaste en esta sesión, relacionado con los adornos de fiesta, sea el correcto. Para ello debes realizar la sustitución del valor de la incógnita x = 5 en la ecuación original y resolver las operaciones aritméticas correspondientes, de tal manera que se cumpla la igualdad.

¡ Buen trabajo! Gracias por tu esfuerzo, : ¿Qué significa resolver una ecuación lineal?

¿Cómo se resuelve un sistema de ecuaciones con dos incógnitas?

Este método consiste en aislar una de las incógnitas de una de las dos ecuaciones y sustituir su valor en la otra ecuación. Una vez resuelta esta última, se resuelve la otra ecuación sustituyendo la incógnita por este valor.

Rosemarie Basco